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グリーン関数の導出

物理やってるとグリーン関数なるものがよく登場しますね。 ポアソン方程式 のような方程式を解くときに使うあれです。ただ解けはするんだけどなんか気持ち悪いなーとか思っていて、パルスって説明もちょっと納得いかず色々とこねくり回してたらそれっぽい感…

サイトで数式を書くのにMathJaxが便利

前から書く書く言っていた物理数学のサイトを書き始めた。 その時に当然数式を書くわけだが、いいツールがないか探していた ときに見つけたのがMathJaX。特にサーバにcgiおいてということもなくjsファイルを読み込むだけで使える。 また、完全にTeXの書き方…

(x-a)(x-b)の平方完成の公式

レポート書いていたら見つけたのでメモ。 (x-a)(x-b)の平方完成だが、これは という風にできる。和と差で書けるということで割りと覚えやすいと思う。aとbが複雑な文字式で展開してそれを平方完成する必要に迫られた時とかに有効。普通の平方完成をする必要…

ガウスの発散定理の直感的証明

地球物理学の授業で証明をしたのだが、式に頼っている感じでどうも納得がいかなかった。数学的に厳密というわけではないし、直感的というわけでもない。そこでもうちょっと直感的に導くやり方を書いておく。 ガウスの発散定理というのは というやつだ。これ…

ローラン展開を計算するときに...

f(x)//(z-a)^kのような関数(ただしf(x)は正則)をaのまわりでローラン展開するとき1/(z-a)^kという項はくくりだしてf(x)だけをテイラー展開するということをしばしば行うがなんでそんなことができるのか今まで謎だった。がさっきわかったので書いておく。結論…

バームクーヘン積分の導出

高校数学で回転体の積分のところで出てきますね。 おいしそうな名前の積分計算のテクニックです。今回はその導出をしてみようかと。 イメージとしてはバームクーヘンのように薄い円柱をくりぬいた層の あつまりとして図形を見るというような感じです。 まず…

当たり判定の数学(1)~動く矩形~

プログラミングをしているとこの手の当たり判定はよく出会います。 これは単純な矩形どうしの当たり判定でしてもいいのですが、 速度によっては、単純な矩形の当たり判定ではすり抜けるという現象が発生します。それを防ごうという試み。そこであたっている…

対角化可能な行列の0乗

実数(複素数でも良いですけど)の0乗は1になります。では対角化可能な行列ではどうなのか?単位行列になるのでしょうか?ふと思いつき証明してみることにしました。 ある行列Aを対角化することを考えます。Aは条件より対角化可能なので適当な行列Pを用いて とB…

三角関数との積の積分のテクニック

最近数学の話題が多いですね。プログラミングを期待している人(いるのか?)ごめんなさい。 微分方程式の解き方で演算子法のとこで出てきました。この三角関数との積の形の積分を簡略化する方法自体はそこだけではなくいろいろなところで使えるなとか思ったの…

畳み込み積分のフーリエ変換(メモ)

くだらないところでつまずいていた。が、もしかしたら他にもつまずく人がいるかもしれないと思いメモしておく。 畳み込み積分とは で定義される積分だ。このとき となる。これの証明をしめす。 ここまではいいと思う。ここで の部分を考えよう。数学的なこと…

指数関数の性質の考察

指数関数は応用上実数だけではなく、複素数や行列にまで拡張されます。その際多くはテイラー展開を利用することが多いと思うのですが、もっと単純な指数関数である条件だけでうまく指数関数の性質を表すことができないか?一体何が本質的なのだろうか?という…

自作パズルゲームの可解性についての考察(1)

昔(たぶん2年前になるのかな?)に部活の新入生歓迎会にPythonの勉強がてらパズルゲームをつくりました。作ったのはいいんですが、どんな場合でも解けるか否かってのが自明ではなく、気持ち悪いのでときどき思い出して解けることの証明に取り組んでいます。結…

Σa[n]=1のときのΣa^2[n]の最小値についての考察

昔に思いついたことだが、どこにも書いていなかった気がするので書いておく。 ふつうはラグランジュの未定乗数法を用いてとけばできそうな気がするが、いまいちエレガントな気がしない。もっとスマートに解けないだろうか?そこで図形的にどういう意味を持つ…