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対角化可能な行列の0乗

数学

実数(複素数でも良いですけど)の0乗は1になります。では対角化可能な行列ではどうなのか?単位行列になるのでしょうか?ふと思いつき証明してみることにしました。
ある行列Aを対角化することを考えます。Aは条件より対角化可能なので適当な行列Pを用いて
P^{-1}AP=B
とBに対角化できます。
(P^{-1}AP)^n=B^n
P^{-1}A^n P=B^n
となります。ここでn=0とします。
そうするとBは対角行列でn乗は対角成分のn乗であり,n=0のときは単位行列になります。
ここで単位行列をEとすれば
P^{-1}A^0 P=E
A^0=PEP^{-1}
A^0=PP^{-1}
A^0=E
単位行列になりました。

こんな感じでできました。行列でも似たような性質が成り立つとは面白いです。
この結果は行列のn乗を求めたときの計算ミスのチェックとかに使えそうですね。