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バームクーヘン積分の導出

高校数学で回転体の積分のところで出てきますね。
おいしそうな名前の積分計算のテクニックです。

今回はその導出をしてみようかと。
イメージとしてはバームクーヘンのように薄い円柱をくりぬいた層の
あつまりとして図形を見るというような感じです。
まずは一枚の薄い層の体積を求めてみましょう。

これは図を見て単純に(外側の円柱)-(内側の円柱)とすれば求まりますね。
高さはどうするの?ということですが、非常に薄ければ大して変わらないと思われるので内側と外側の高さは一定とします。
f:id:ikaro1192:20120905221001p:plain
内側の円柱の半径(図の赤)をr、外側の半径(図の青)をそれにΔrだけたした値、高さをf(r)とすれば

\Delta V=\pi (r+\Delta r)^2 f(r) - \pi r^2 f(r)
=\pi r^2 f(r)+2\pi r\Delta r f(r)+\pi(\Delta r)^2 f(r) - \pi r^2 f(r)
=2\pi r\Delta r f(r)+\pi(\Delta r)^2 f(r)
ここで(Δr)^2はかなり小さいと考えられる(近似の際よく使います)ので0とすれば
\Delta V=2r\Delta r f(r)
となりました。さて今はrでやりましたがこれをxにしても問題ないです。
ということで
\Delta V=2\pi x\Delta x f(x)
\Delta V=2\pi x f(x) \Delta x
となります。(後ろは並び替えただけ)
後はこれを半径をa~bの間で変化させながら足し合わせればいいので
\sum \Delta V=\sum 2\pi x f(x_i) \Delta x
V=\int_{a}^{b} 2\pi xf(x)dx
となりました。(面倒なので総和の方は添え字とか色々省略しました)