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グリーン関数の導出

物理やってるとグリーン関数なるものがよく登場しますね。
ポアソン方程式
\nabla^2 \phi =- \frac{\rho}{\epsilon_0}
のような方程式を解くときに使うあれです。

ただ解けはするんだけどなんか気持ち悪いなーとか思っていて、パルスって説明もちょっと納得いかず色々とこねくり回してたらそれっぽい感じの説明思いついたので書いておきます。(正しいかは保証しません)

方程式
\mathcal{L} \phi = f
\phiについて解くことを考えます。ここで\mathcal{L}微分を含むような線形作用素だとします。
行列とベクトルみたいな感じで両辺から\mathcal{L}の逆作用素をかけてあげると
\mathcal{L}^{-1}\mathcal{L} \phi = \mathcal{L}^{-1}f
 \phi = \mathcal{L}^{-1}f
となり、形式的には\phiが求まりました。が、逆作用素の実体が不明なのでこれを求めます。
微分の逆演算なので積分になりそうです。とりあえず以下のように仮定してみましょう。
 \mathcal{L}^{-1} \psi = \int G(x-x') \phi(x') dx'
積分になるだろうという予測、そしてたんなる積分ではなくなにか関数Gも含むだろうという予測です。
あとはGをもとめればいいだけ(存在するのかというのもホントは証明しないといけないですけど)ということですが、
積分が含まれていて余計にややこしくなったように見えます。
今Gを積分から取り出すのにデルタ関数を用います。
\phi = \delta(x)
とおいて代入してみましょう。
 \mathcal{L}^{-1} \delta(x) = \int G(x-x') \delta(x') dx'
 \mathcal{L}^{-1}  \delta(x) = - G(x)
めでたく積分の中からGを取り出せましたね。
 \mathcal{L}^{-1}  \delta(x) =  -G(x)
あとは\mathcal{L}を両辺にかけて
 \delta(x) = - \mathcal{L}G(x)
\mathcal{L}G(x) = - \delta(x)
という方程式をとけば良いだけです。ポアソン方程式の場合はフーリエ変換して逆変換してあげれば出ますね。
この方程式に出てきたGのことをグリーン関数と呼びます。