ローラン展開を計算するときに...

f(x)//(z-a)^kのような関数(ただしf(x)は正則)をaのまわりでローラン展開するとき1/(z-a)^kという項はくくりだしてf(x)だけをテイラー展開するということをしばしば行うがなんでそんなことができるのか今まで謎だった。がさっきわかったので書いておく。結論から言えば(z-a)で割っても式全体は(z-a)の冪の和であることは変わらないということなのだが...

まずaを中心とするローラン展開とは
$f(x)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}a_n (x-a)^n$
というようにf(x)を負の冪までかんがえて冪関数に展開することだ。今は $a_n$ がどう表示されるかはあんまり重要でない。一方テイラー展開は
$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}b_n (x-a)^n$
と表示される。こちらは負の冪は考えられていない。

さて、準備が整ったところでf(x)/(z-a)^kをaまわりでローラン展開してみよう。まずf(x)をテイラー展開すると
$f(x)=\sum^{\infty}_{n=0}b_n (x-a)^n$
となる。ここまでは定義通りなのでいいと思う。次に両辺に1/(z-a)^kをかける。
$\frac{f(x)}{(z-a)^k}=\frac{1}{(z-a)^k}\sum^{\infty}_{n=0}b_n (x-a)^n$
$\frac{f(x)}{(z-a)^k}=\sum^{\infty}_{n=0}b_n (x-a)^{n-k}$
n-kが負になるかもしれないがローラン展開ではそれが普通だし、ローラン展開では $a_n$ はマイナスの無限まで続いているのにここで出てきた $b_n$ では無限項続かないってのは単に-k以下の $a_n$ が0になって見た目上消えてしまっていると考えれば良い。
つまり
$a_n = \begin{cases}<br /> 0 & (n<-k) \\<br /> b_n & (otherwise)<br /> \end{cases}$
ということで結局この式は $a_n$ をこのようにとれば
$f(x)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}a_n (x-a)^n$
となってローラン展開の式と一致するというわけだ。つまり1/(z-a)^kをくくりだすことは当然合法でなぜそれができるのかというと(z-a)で割っても式全体は(z-a)の冪の和であることは変わらないといういたって当然のことだった。なんでいままでこれに気づかなかったのだろう?