畳み込み積分のフーリエ変換(メモ)

くだらないところでつまずいていた。が、もしかしたら他にもつまずく人がいるかもしれないと思いメモしておく。
畳み込み積分とは
$f*g(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(y)g(x-y)}dy$
で定義される積分だ。このとき
$\mathcal{F}[f*g(x)}]=\mathcal{F}[f(x)}]\mathcal{F}[g(x)}]$
となる。これの証明をしめす。
$\mathcal{F}[f*g(x)}]=\int_{-\infty}^{\infty} f*g(x)e^{-inx} dx$
$=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}{f(y)g(x-y)}dy e^{-inx} dx$
$=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}{f(y)g(x-y)}dy e^{-in(x-y)}e^{-iny} dx$
ここまではいいと思う。ここで
${f(y)g(x-y)}dy e^{-in(x-y)}e^{-iny} dx$
の部分を考えよう。数学的なことを考えなければ結局微小量と関数の積なので積の順番を変えてもよい。(ここでつまった)
${g(x-y)e^{-in(x-y)}}dx f(y)e^{-iny} dy$
ここでもう一回積分記号をつけると
$=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}{g(x-y)e^{-in(x-y)}}dx f(y)e^{-iny} dy$
となる。xとyは独立なのでxに関する部分はyのところの積分では定数みたいなものなのでxの積分の中に入っているyの積分の部分は外に出せて
$= {\int_{-\infty}^{\infty}{g(x-y)e^{-in(x-y)}}dx} \int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-iny} dy$
$= \int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-iny} dy {\int_{-\infty}^{\infty}{g(x-y)e^{-in(x-y)}}dx}$
あとはフーリエ変換の定義そのままになっているので
$=\mathcal{F}[f(x)}]\mathcal{F}[g(x)}]$
を得る。
本当は絶対収束とかそんなこと考慮に入れないと積分の順序の交換とか出来ない気もするけどそこは気にしない方向で。