対角化可能な行列の0乗 - まどろみの思考空間

実数(複素数でも良いですけど)の0乗は1になります。では対角化可能な行列ではどうなのか?単位行列になるのでしょうか?ふと思いつき証明してみることにしました。
ある行列Aを対角化することを考えます。Aは条件より対角化可能なので適当な行列Pを用いて
$P^{-1}AP=B$
とBに対角化できます。
$(P^{-1}AP)^n=B^n$
$P^{-1}A^n P=B^n$
となります。ここでn=0とします。
そうするとBは対角行列でn乗は対角成分のn乗であり,n=0のときは単位行列になります。
ここで単位行列をEとすれば
$P^{-1}A^0 P=E$
$A^0=PEP^{-1}$
$A^0=PP^{-1}$
$A^0=E$
と単位行列になりました。